Vektorraum/R/Skalarprodukt/Normabschätzung/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}\Vert {v+u}\Vert ^{2}&=\left\langle v+u,v+u\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle +2\left\langle v,u\right\rangle +\left\langle u,u\right\rangle \\&=\Vert {v}\Vert ^{2}+2\left\langle v,u\right\rangle +\Vert {u}\Vert ^{2}\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}\Vert {v-u}\Vert ^{2}&=\left\langle v-u,v-u\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -2\left\langle v,u\right\rangle +\left\langle u,u\right\rangle \\&=\Vert {v}\Vert ^{2}-2\left\langle v,u\right\rangle +\Vert {u}\Vert ^{2}.\end{aligned}}$

Somit ist

${}\Vert {v+u}\Vert ^{2}\geq \Vert {v-u}\Vert ^{2}\,$

(und dies ist äquivalent zu ${}\Vert {v+u}\Vert \geq \Vert {v-u}\Vert$ wegen der Monotonie des Quadrats auf ${}\mathbb {R} _{\geq 0}$) genau dann, wenn ${}\left\langle v,u\right\rangle \geq 0$

ist.

Zur gelösten Aufgabe