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Vektorraum/R/Skalarprodukt/Normgleichheit/2/Aufgabe/Lösung
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Vektorraum/R/Skalarprodukt/Normgleichheit/2/Aufgabe
Es ist
‖
2
u
‖
2
=
‖
(
u
+
v
)
+
(
u
−
v
)
‖
2
=
⟨
(
u
+
v
)
+
(
u
−
v
)
,
(
u
+
v
)
+
(
u
−
v
)
⟩
=
⟨
(
u
+
v
)
,
(
u
+
v
)
⟩
+
⟨
(
u
+
v
)
,
(
u
−
v
)
⟩
+
⟨
(
u
−
v
)
,
(
u
+
v
)
⟩
+
⟨
(
u
−
v
)
,
(
u
−
v
)
⟩
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\Vert {2u}\Vert ^{2}&=\Vert {(u+v)+(u-v)}\Vert ^{2}\\&=\left\langle (u+v)+(u-v),(u+v)+(u-v)\right\rangle \\&=\left\langle (u+v),(u+v)\right\rangle +\left\langle (u+v),(u-v)\right\rangle +\left\langle (u-v),(u+v)\right\rangle +\left\langle (u-v),(u-v)\right\rangle \end{aligned}}}
und
‖
2
v
‖
2
=
‖
(
u
+
v
)
−
(
u
−
v
)
‖
2
=
⟨
(
u
+
v
)
−
(
u
−
v
)
,
(
u
+
v
)
−
(
u
−
v
)
⟩
=
⟨
(
u
+
v
)
,
(
u
+
v
)
⟩
−
⟨
(
u
+
v
)
,
(
u
−
v
)
⟩
−
⟨
(
u
−
v
)
,
(
u
+
v
)
⟩
+
⟨
(
u
−
v
)
,
(
u
−
v
)
⟩
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\Vert {2v}\Vert ^{2}&=\Vert {(u+v)-(u-v)}\Vert ^{2}\\&=\left\langle (u+v)-(u-v),(u+v)-(u-v)\right\rangle \\&=\left\langle (u+v),(u+v)\right\rangle -\left\langle (u+v),(u-v)\right\rangle -\left\langle (u-v),(u+v)\right\rangle +\left\langle (u-v),(u-v)\right\rangle .\end{aligned}}}
Somit ist
‖
2
u
‖
2
−
‖
2
v
‖
2
=
4
⟨
(
u
+
v
)
,
(
u
−
v
)
⟩
.
{\displaystyle {}\Vert {2u}\Vert ^{2}-\Vert {2v}\Vert ^{2}=4\left\langle (u+v),(u-v)\right\rangle \,.}
Also ist
‖
u
‖
=
‖
v
‖
{\displaystyle {}\Vert {u}\Vert =\Vert {v}\Vert \,}
genau dann, wenn
⟨
(
u
+
v
)
,
(
u
−
v
)
⟩
=
0
{\displaystyle {}\left\langle (u+v),(u-v)\right\rangle =0\,}
ist.
Zur gelösten Aufgabe
