Vektorraum/Restklassenraum/Basis/Aufgabe/Lösung


Es sei zunächst die Gesamtfamilie eine Basis von . Da

surjektiv ist, ist das Bild der Basis ein Erzeugendensystem von , und da die Vektoren , , auf abgebildet werden, ist , , ein Erzeugendensystem des Restklassenraumes. Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit sei

wobei die Koeffizienten nur für endlich viele Indizes ungleich sein können. Dies bedeutet zurückübersetzt nach , dass

gilt. Somit ist

und aus der linearen Unabhängigkeit der Gesamtfamilie folgt

Es sei nun umgekehrt vorausgesetzt, dass die , , eine Basis des Restklassenraumes bilden. Es sei . Dann ist

in . Dies bedeutet zurückübersetzt nach , dass

zu gehört. Damit gibt es eine Darstellung

und die Vektorenfamilie ist ein Erzeugendensystem. Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit sei

Im Restklassenraum bedeutet dies

und wegen der linearen Unabhängigkeit folgt

für alle . Somit reduziert sich die Ausgangsgleichung zu

und die lineare Unabhängigkeit der liefert

für alle .