Vektorraum/Restklassenraum/Basis/Aufgabe/Lösung

Es sei zunächst die Gesamtfamilie eine Basis von ${}V$. Da

$V\longrightarrow V/U$

surjektiv ist, ist das Bild der Basis ein Erzeugendensystem von ${}V/U$, und da die Vektoren ${}u_{i}$, ${}i\in I$, auf ${}0$ abgebildet werden, ist ${}[v_{j}]$, ${}j\in J$, ein Erzeugendensystem des Restklassenraumes. Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit sei

${}\sum _{j\in J}b_{j}[v_{j}]=0\,,$

wobei die Koeffizienten nur für endlich viele Indizes ungleich ${}0$ sein können. Dies bedeutet zurückübersetzt nach ${}V$, dass

${}\sum _{j\in J}b_{j}v_{j}=u\in U\,$

gilt. Somit ist

${}\sum _{j\in J}b_{j}v_{j}=\sum _{i\in I}a_{i}u_{i}\,$

und aus der linearen Unabhängigkeit der Gesamtfamilie folgt

${}b_{j}=0\,.$

Es sei nun umgekehrt vorausgesetzt, dass die ${}[v_{j}]$, ${}j\in J$, eine Basis des Restklassenraumes bilden. Es sei ${}v\in V$. Dann ist

${}[v]=\sum _{j\in J}b_{j}[v_{j}]\,$

in ${}V/U$. Dies bedeutet zurückübersetzt nach ${}V$, dass

$v-\sum _{j\in J}b_{j}v_{j}$

zu ${}U$ gehört. Damit gibt es eine Darstellung

${}v=\sum _{i\in I}a_{i}u_{i}+\sum _{j\in J}b_{j}v_{j}\,$

und die Vektorenfamilie ist ein Erzeugendensystem. Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit sei

${}0=\sum _{i\in I}a_{i}u_{i}+\sum _{j\in J}b_{j}v_{j}\,.$

Im Restklassenraum bedeutet dies

${}[0]=\sum _{i\in I}a_{i}[u_{i}]+\sum _{j\in J}b_{j}[v_{j}]=\sum _{j\in J}b_{j}[v_{j}]\,$

und wegen der linearen Unabhängigkeit folgt

${}b_{j}=0\,$

für alle ${}j\in J$. Somit reduziert sich die Ausgangsgleichung zu

${}0=\sum _{i\in I}a_{i}u_{i}\,$

und die lineare Unabhängigkeit der ${}u_{i}$ liefert

${}a_{i}=0\,$

für alle ${}i\in I$.

Zur gelösten Aufgabe