Vektorraum/Skalarprodukt/Endomorphismus/Sesquilinearform/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Es ist

und

also ist die Zuordnung in der ersten Komponente linear und in der zweiten Komponente semilinear. Daher ist eine Sesquilinearform.

(2). Die Linearität ergibt sich aus der Linearität des Skalarproduktes in der ersten Komponente. Im endlichdimensionalen Fall stehen links und rechts Vektorräume der Dimension , es genügt also, die Injektivität zu zeigen. Bei ist für alle , so dass insbesondere und somit gilt.

(3). Wenn nicht bijektiv ist, so sei , . Dann ist die Nullabbildung in der zweiten Komponente und die Form ist ausgeartet. Sei umgekehrt ausgeartet. Dann gibt es einen Vektor , , derart, dass die Nullabbildung ist. Da ein Skalarprodukt nicht ausgeartet ist, folgt und damit ist nicht bijektiv.

(4). Im selbstadjungierten Fall ist

Die Umkehrung folgt aus