Vektorraum/Skalarprodukt/Endomorphismus/Sesquilinearform/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Es ist

${}{\begin{aligned}\psi _{\varphi }(av_{1}+bv_{2},w)&=\left\langle \varphi (av_{1}+bv_{2}),w\right\rangle \\&=\left\langle a\varphi (v_{1})+b\varphi (v_{2}),w\right\rangle \\&=a\left\langle \varphi (v_{1}),w\right\rangle +b\left\langle \varphi (v_{2}),w\right\rangle \\&=a\psi _{\varphi }(v_{1},w)+b\psi _{\varphi }(v_{2},w)\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}\psi _{\varphi }(v,aw_{1}+bw_{2})&=\left\langle \varphi (v),aw_{1}+bw_{2}\right\rangle \\&={\overline {a}}\left\langle \varphi (v),w_{1}\right\rangle +{\overline {b}}\left\langle \varphi (v),w_{2}\right\rangle \\&={\overline {a}}\psi _{\varphi }(v,w_{1})+{\overline {b}}\psi _{\varphi }(v,w_{2}),\end{aligned}}$

also ist die Zuordnung in der ersten Komponente linear und in der zweiten Komponente semilinear. Daher ist ${}\Psi _{\varphi }$ eine Sesquilinearform.

(2). Die Linearität ergibt sich aus der Linearität des Skalarproduktes in der ersten Komponente. Im endlichdimensionalen Fall stehen links und rechts Vektorräume der Dimension ${}{\left(\operatorname {dim} _{}\left(V\right)\right)}^{2}$, es genügt also, die Injektivität zu zeigen. Bei ${}\Psi _{\varphi }=0$ ist ${}\left\langle \varphi (v),w\right\rangle =0$ für alle ${}v,w$, so dass insbesondere ${}\left\langle \varphi (v),\varphi (v)\right\rangle =0$ und somit ${}\varphi (v)=0$ gilt.

(3). Wenn ${}\varphi$ nicht bijektiv ist, so sei ${}v\in \operatorname {kern} \varphi$, ${}v\neq 0$. Dann ist ${}\Psi _{\varphi }(v,-)$ die Nullabbildung in der zweiten Komponente und die Form ist ausgeartet. Es sei umgekehrt ${}\Psi _{\varphi }(-,-)$ ausgeartet. Dann gibt es einen Vektor ${}v\in V$, ${}v\neq 0$, derart, dass ${}\left\langle \varphi (v),-\right\rangle$ die Nullabbildung ist. Da ein Skalarprodukt nicht ausgeartet ist, folgt ${}\varphi (v)=0$ und damit ist ${}\varphi$ nicht bijektiv.

(4). Im selbstadjungierten Fall ist

${}\Psi _{\varphi }(v,w)=\left\langle \varphi (v),w\right\rangle =\left\langle v,\varphi (w)\right\rangle ={\overline {\left\langle \varphi (w),v\right\rangle }}={\overline {\Psi _{\varphi }(w,v)}}\,.$

Die Umkehrung folgt aus

${}\left\langle \varphi (v),w\right\rangle =\Psi _{\varphi }(v,w)={\overline {\Psi _{\varphi }(w,v)}}={\overline {\left\langle \varphi (w),v\right\rangle }}=\left\langle v,\varphi (w)\right\rangle \,.$

Zur bewiesenen Aussage