Es sei das
Infimum
von
-
Mit Hilfe von
Aufgabe
erhält man für Punkte
die Identität
-
Wegen der Konvexität gilt
und daher ist
-
Es seien nun Punkte, in denen das Infimum angenommen wird. Dann folgt aus
-
sofort
und damit
,
was die Eindeutigkeit bedeutet.
Da das Infimum einer nichtleeren Teilmenge von durch eine Folge beliebig nah angenähert weden kann, gibt es eine
Folge
derart, dass gegen
konvergiert.
Die obige Abschätzung ergibt für Folgenglieder die Abschätzung
-
Da gegen konvergiert, folgt daraus, dass die Differenz links beliebig klein wird. Dies bedeutet, dass eine
Cauchy-Folge
ist. Wegen der Vollständigkeit von konvergiert die Folge gegen ein
.