Vektorraum/Tensorprodukt/R^2 über sich/Basiswechsel/Beispiel

Wir betrachten den ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit den Basen ${}{\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-3\\8\end{pmatrix}}$ und der Standardbasis ${}{\mathfrak {w}}$ und ${}{\mathbb {C} }$ als reellen Vektorraum mit den Basen ${}{\mathfrak {x}}=3-2{\mathrm {i} },4+5{\mathrm {i} }$ und ${}{\mathfrak {y}}=1,{\mathrm {i} }$. Damit sind die Basiswechselmatrizen, wie sie in Fakt auftreten, gleich

${}B_{1}={\begin{pmatrix}5&-3\\6&8\end{pmatrix}}\,$

und

${}B_{2}={\begin{pmatrix}3&4\\-2&5\end{pmatrix}}\,.$

Wir folgen der Anordnung ${}(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)$ und erhalten die Basiswechselmatrix

${\begin{pmatrix}15&20&-9&-12\\-10&25&6&-15\\18&24&24&32\\-12&30&-16&40\end{pmatrix}}.$

In der zweiten Spalte steht beispielsweise, wie man ${}v_{1}\otimes x_{2}$ als Linearkombination der ${}w_{1}\otimes y_{1},\,w_{1}\otimes y_{2},\,w_{2}\otimes y_{1},\,w_{2}\otimes y_{2}$ ausdrückt.