Vektorraum/Vektorenfamilie/Matroid/Beispiel

Es sei ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Vektoren in ${}V$ zu einer endlichen Indexmenge ${}I$. Wir setzen

${\mathcal {M}}={\left\{J\subseteq I\mid {\text{Die Familie }}v_{j},j\in J,{\text{ ist linear unabhängig}}\right\}}\,$

und behaupten, dass es sich dabei um ein Matroid handelt. Die Eigenschaften ergeben sich aus Fakt  (1,2) und aus folgender Überlegung: Wenn die Teilfamilien ${}v_{j}$, ${}j\in J$ und ${}v_{\ell }$, ${}\ell \in L$ zu ${}J,L\subseteq I$ jeweils linear unabhängig sind, und ${}L$ ein Element mehr als ${}J$ besitzt, so gilt für die erzeugten Untervektorräume aus Dimensionsgründen

${}\langle v_{\ell },\ell \in L\rangle \not \subseteq \langle v_{j},j\in J\rangle \,.$

Daher gibt es auch ein ${}v_{k}$, ${}k\in L$, mit ${}v_{k}\notin \langle v_{j},j\in J\rangle$. Doch dann ist die erweiterte Familie ${}v_{j},j\in J,v_{k}$ ebenfalls linear unabhängig.