Vektorraum mit Skalarprodukt/Endomorphismus/Selbstadjungiert/Spektralsatz/Fakt/Beweis

Beweis

Wir führen Induktion über die Dimension von ${}V$. Nach Fakt  (4) besitzt ${}\varphi$ einen Eigenvektor ${}v$, den wir als normiert voraussetzen können, und nach Fakt  (1) ist das orthogonale Komplement

${}W={\mathbb {K} }v^{\perp }\,$

dazu ebenfalls invariant. Daher liegt eine direkte Summenzerlegung

${}V={\mathbb {K} }v\oplus W\,$

vor. Die Einschränkung von ${}\varphi$ auf ${}W$ ist ebenfalls selbstadjungiert und daher liefert die Induktionsvoraussetzung die Behauptung.

Zur bewiesenen Aussage