Vektorraum mit Skalarprodukt/Orthonormalbasis/Koeffizienten/Fakt/Beweis

Beweis

Da eine Basis vorliegt, gibt es eine eindeutige Darstellung

${}v=\sum _{j\in I}a_{j}u_{j}\,$

(wobei alle ${}a_{j}$ bis auf endlich viele gleich ${}0$ sind). Die Behauptung ergibt sich somit aus

${}\left\langle v,u_{i}\right\rangle =\left\langle \sum _{j\in I}a_{j}u_{j},u_{i}\right\rangle =\sum _{j\in I}a_{j}\left\langle u_{j},u_{i}\right\rangle =a_{i}\,.$

Zur bewiesenen Aussage