Vergleich/3 hoch Quadratwurzel 7/Ganzzahlig/Aufgabe/Lösung
- Die angegebenen Abschätzungen kann man durch Quadrieren überprüfen. Wegen
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![{\displaystyle {}{\left({\frac {5}{2}}\right)}^{2}={\frac {25}{4}}\leq {\frac {28}{4}}=7={\frac {63}{9}}\leq {\frac {64}{9}}={\left({\frac {8}{3}}\right)}^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f39355d2ca0b75f70cabd6daa2b6ec09c16d0c9)
ist dies richtig.
- Nach Teil (1) ist
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![{\displaystyle {}{\frac {5}{2}}\leq {\sqrt {7}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/389f44f550b5f56ae368c3994fd2bb1b3ec5787f)
und damit ist
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![{\displaystyle {}3^{\frac {5}{2}}\leq 3^{\sqrt {7}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/148c0f8642d4debe552fc77cdeda21b390d8c9e7)
Wegen
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![{\displaystyle {}15^{2}=225\leq 243=3^{5}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/145393a71deeb506766df5a42cbe357f43b86f3e)
ist
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![{\displaystyle {}15\leq 3^{\frac {5}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/239e54ad4e7394658bf092b35cfd4f80e10920a3)
und damit
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![{\displaystyle {}15\leq 3^{\sqrt {7}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c89344ee5e605c33bdde73b3e617a7719ee3cc02)
Nach Teil (1) ist
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![{\displaystyle {}{\sqrt {7}}\leq {\frac {8}{3}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b063ff83b6d7dae3af87cbcec316f7373ba714b)
und damit ist
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![{\displaystyle {}3^{\sqrt {7}}\leq 3^{\frac {8}{3}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2edc7c8f79873091e1e96fcafbe054656cd47ccf)
Wegen
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![{\displaystyle {}3^{8}=6561\leq 6859=19^{3}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d6c7440701f13d3fd7e7e51c5ad5af15ed15481)
ist
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![{\displaystyle {}3^{\frac {8}{3}}\leq 19\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29d14b30388d06eb7a81ac1bceb3a9f499c640e7)
und damit
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![{\displaystyle {}3^{\sqrt {7}}\leq 19\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/629c3000321e5c623738169893ef31ff86ed13d8)
- Zunächst ist
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![{\displaystyle {}{\frac {13}{5}}\leq {\sqrt {7}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81132abc4dbee93a113f1823adfa42bae6a15ee9)
da
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![{\displaystyle {}{\left({\frac {13}{5}}\right)}^{2}={\frac {169}{25}}\leq {\frac {175}{25}}=7\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f92ed7f14f0689ad604880c70e51374bcd00e3e)
ist. Somit gilt
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![{\displaystyle {}3^{\frac {13}{5}}\leq 3^{\sqrt {7}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c3573ec3715e28a35fd178efc3810a9dfe98a3e)
Wegen
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![{\displaystyle {}17^{5}=1419857\leq 1594323=81\cdot 81\cdot 81\cdot 3=3^{13}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c0e7f8456f57bca81107bddebfb8a237a88209a)
ist
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![{\displaystyle {}17\leq 3^{\frac {5}{13}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12e70efb2e65ea9141c3293f00aefdcb69868064)
und damit auch
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![{\displaystyle {}17\leq 3^{\sqrt {7}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bd76b7d0189f6455e3a312f1cdff9fc16cd58af)