Verknüpfung/Produktmenge/Natürliche Zahlen/Elementare Einführung/Textabschnitt

Wir führen nun die Addition und die Multiplikation von natürlichen Zahlen ein. Dabei müssen wir uns kurz klar machen, um was für ein Objekt es sich überhaupt handelt. Bei der Addition (der Multiplikation) wird zwei natürlichen Zahlen ${}a$ und ${}b$ eine neue Zahl, ihre Summe ${}a+b$ (ihr Produkt $a\cdot b$) zugeordnet. Weiter ober haben wir schon aus zwei Mengen ihre Vereinigung bzw. ihren Durchschnitt gebildet. Für diese Situationen gibt es das Konzept der Verknüpfung. Um dies angemessen formulieren zu können, benötigen wir die Produktmenge.

Definition

Es seien zwei Mengen ${}L$ und ${}M$ gegeben. Dann nennt man die Menge

${}L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,$

die Produktmenge der beiden Mengen.

Die Elemente der Produktmenge nennt man Paare und schreibt ${}(x,y)$. Dabei kommt es wesentlich auf die Reihenfolge an. Die Produktmenge besteht also aus allen Paarkombinationen, wo in der ersten Komponenten ein Element der ersten Menge und in der zweiten Komponenten ein Element der zweiten Menge steht. Zwei Paare sind genau dann gleich, wenn sie in beiden Komponenten gleich sind. Bei einer Produktmenge können natürlich auch beide Mengen gleich sein. Dann ist es verlockend, die Reihenfolge zu verwechseln, und also besonders wichtig, darauf zu achten, dies nicht zu tun. Wenn eine der beiden Mengen leer ist, so ist auch die Produktmenge leer.

Beispiel

Es sei ${}V$ die Menge aller Vornamen (sagen wir der Vornamen, die in einer bestimmten Grundmenge an Personen wirklich vorkommen) und ${}N$ die Menge aller Nachnamen. Dann ist

$V\times N$

die Menge aller Namen. Elemente davon sind in Paarschreibweise beispielsweise ${}({\text{Heinz}},{\text{Müller}})$, ${}({\text{Petra}},{\text{Müller}})$ und ${}({\text{Lucy}},{\text{Sonnenschein}})$. Aus einem Namen lässt sich einfach der Vorname und der Nachname herauslesen, indem man entweder auf die erste oder auf die zweite Komponente des Namens schaut. Auch wenn alle Vornamen und Nachnamen für sich genommen vorkommen, so muss natürlich nicht jeder daraus gebastelte mögliche Name wirklich vorkommen. Bei der Produktmenge werden eben alle Kombinationsmöglichkeiten aus den beiden beteiligten Mengen genommen.

Beispiel

Bei zwei reellen Intervallen ${}M=[a,b]$ und ${}L=[c,d]$ ist die Produktmenge einfach das Rechteck

$[a,b]\times [c,d].$

Allerdings muss man bei einem Rechteck im Hinterkopf behalten, welche Seite das erste und welche Seite das zweite Intervall ist. Für ${}\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ schreibt man häufig auch ${}\mathbb {R} ^{2}$.

Man kann auch mehrfache Produktmengen bilden, wie etwa ${}\mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R}$.

Für eine Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

ist der Graph diejenige Teilmenge von ${}\mathbb {R} \times \mathbb {R} \cong \mathbb {R} ^{2}$, die durch alle Paare der Form ${}(x,f(x))$ gegeben sind. Diese Definition überträgt sich auf beliebige Abbildungen. Es existiert also stets ein Graph unabhängig von seiner zeichnerischen Realisierbarkeit.

Definition

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung. Dann nennt man

${}\Gamma =\Gamma _{F}={\left\{(x,F(x))\mid x\in L\right\}}\subseteq L\times M\,$

den Graphen der Abbildung ${}F$.

Definition

Eine Verknüpfung ${}\circ$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Abbildung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto \circ (x,y)=x\circ y.$

Statt Verknüpfung sagt man auch Operation. Das Verknüpfungszeichen ${}\circ$ ist hier einigermaßen willkürlich gewählt, um vorschnelle Assoziationen zu vermeiden. In vielen konkreten Situation steht hier ${}+$ oder ${}\cdot$. Das „neue“ Element ${}x\circ y$ heißt dann auch das Ergebnis der Operation. Da das Ergebnis wieder zur Ausgangsmenge ${}M$ gehört, kann man es weiter verknüpfen mit weiteren Elementen. Dies erfordert im Allgemeinen Klammerungen, um zu wissen, in welcher Reihenfolge welche Elemente miteinander verknüpft werden sollen. Im Allgemeinen ist

${}a\circ (b\circ c)\neq (a\circ b)\circ c\,.$

Definition

Eine Verknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

auf einer Menge ${}M$ heißt assoziativ, wenn für alle ${}x,y,z\in M$ die Gleichheit

${}(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,$

gilt.

Man sagt auch, dass für die Verknüpfung das Assoziativgesetz oder die Klammerregel gilt.

Definition

Eine Verknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

auf einer Menge ${}M$ heißt kommutativ, wenn für alle ${}x,y\in M$ die Gleichheit

${}x\circ y=y\circ x\,$

gilt.

Man sagt auch, dass für die Verknüpfung das Kommutativgesetz oder das Vertauschungsgesetz gilt. Die Addition und die Multiplikation auf den natürlichen Zahlen sind beide assoziativ und kommutativ.

Definition

Es sei eine Menge ${}M$ mit einer Verknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

gegeben. Dann heißt ein Element ${}e\in M$ neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle ${}x\in M$ die Gleichheit ${}x\circ e=x=e\circ x$ gilt.

Bei der Addition auf den natürlichen Zahlen ist ${}0$ das neutrale Element und bei der Multiplikation auf den natürlichen Zahlen ist ${}1$ das neutrale Element. Deshalb ist es in der abstrakten Formulierung sinnvoll, eine unbelastete Bezeichnung zu wählen. Wenn die Verknüpfung kommutativ ist, so muss man die Eigenschaft des neutralen Elementes nur von einer Seite überprüfen.