Vollkommene Zahlen/Gerade/Charakterisierung mit Mersenne-Primzahlen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung


Es sei zunächst mit prim. Dann sind die von verschiedenen Teiler von durch

gegeben. Daher ist ihre Summe gleich

also ist vollkommen. Es sei umgekehrt vollkommen. Wir setzen (in Anlehnung an das Ziel) an

mit ungerade und , da ja gerade ist. Für teilerfremde Zahlen ist nach Fakt die Teilersumme gleich dem Produkt der beiden Teilersummen. Daher ist einerseits

und andererseits wegen der Vollkommenheit . Insgesamt ergibt sich also . Da ungerade ist, gilt

Die Annahme führt schnell zum Widerspruch, da es dann zumindest die drei verschiedenen Teiler von gibt, was zu

führt. Also ist und somit .

Die Teilersumme einer Zahl ist aber gleich nur dann, wenn eine Primzahl vorliegt.