Vollkommene Zahlen/Mersenne Zahlen/Einführung/Textabschnitt
Definition
Eine natürliche Zahl heißt vollkommen, wenn sie mit der Summe all ihrer von verschiedenen Teiler übereinstimmt.
Bereits Euklid stellte fest, dass die ersten vier vollkommenen Zahlen sich als
darstellen lassen:
- Für :
- Für :
- Für :
- Für : .
Euklid bewies, dass immer dann eine vollkommene Zahl ist, wenn eine Primzahl, also eine Mersenne-Primzahl ist. Euler bewies, dass auf diese Weise alle geraden vollkommenen Zahlen erzeugt werden können. Bevor wir diesen Satz von Euklid-Euler beweisen, brauchen wir eine kleine Vorüberlegung.
Definition
Zu einer natürlichen Zahl bezeichnet man die Summe aller natürlichen Teiler von als , also
Eine vollkommene Zahl kann man also dadurch charakterisieren, dass ist.
Lemma
Zu zwei natürlichen teilerfremden Zahlen und gilt
Beweis
Bei zwei teilerfremden Zahlen und hat jeder positive Teiler des Produkts die eindeutige Form , wobei ein Teiler von und ein Teiler von ist. Also gilt
Damit können wir beweisen.
Satz
Eine gerade Zahl ist genau dann vollkommen, wenn ist mit prim.
Beweis
Es sei zunächst mit prim. Dann sind die von verschiedenen Teiler von durch
gegeben. Daher ist ihre Summe gleich
also ist vollkommen. Es sei umgekehrt vollkommen. Wir setzen (in Anlehnung an das Ziel) an
mit ungerade und , da ja gerade ist. Für teilerfremde Zahlen ist nach Fakt die Teilersumme gleich dem Produkt der beiden Teilersummen. Daher ist einerseits
und andererseits wegen der Vollkommenheit . Insgesamt ergibt sich also . Da ungerade ist, gilt
Die Annahme führt schnell zum Widerspruch, da es dann zumindest die drei verschiedenen Teiler von gibt, was zu
führt. Also ist und somit . Die Teilersumme einer Zahl ist aber gleich nur dann, wenn eine Primzahl vorliegt.
Es ist unbekannt, ob es unendlich viele vollkommene Zahlen gibt, da es ja auch unbekannt ist, ob es unendlich viele Mersenne-Primzahlen gibt. Es ist unbekannt, ob es überhaupt auch ungerade vollkommene Zahlen gibt.