Vollständigkeitssatz/Beispielaufnahme/Verschiedene Variablen/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}\Gamma$ derart, dass es eine Aussage ${}\alpha \in L^{S}$ gibt, für die sowohl ${}\exists x\alpha$ als auch ${}\exists x\neg \alpha$ zu ${}\Gamma$ gehört. Beispielsweise kann man

${}\Gamma =\{\exists xx=c,\exists x\neg x=c\}\,$

mit einer Konstanten ${}c$ nehmen. Eine solche Ausdrucksmenge ist widerspruchsfrei, da sie (über jeder Menge mit mindestens zwei Elementen) erfüllbar ist. Wenn man nur eine neue Variable ${}z$ zur Verfügung hat, so muss man die beiden Aussagen ${}\exists x\alpha \rightarrow \alpha {\frac {z}{x}}$ und ${}\exists x\neg \alpha \rightarrow \neg \alpha {\frac {z}{x}}$

hinzunehmen. Aus der neuen Ausdrucksmenge ${}\Gamma '$ würde dann sowohl ${}\alpha {\frac {z}{x}}$ als auch ${}\neg \alpha {\frac {z}{x}}$ ableitbar sein, und somit wäre ${}\Gamma '$ widersprüchlich.

Zur gelösten Aufgabe