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∏
p
∈
T
1
1
−
p
−
s
=
1
1
−
p
1
−
s
⋯
1
1
−
p
k
−
s
=
(
∑
i
=
0
∞
(
p
1
−
s
)
i
)
⋯
(
∑
i
=
0
∞
(
p
k
−
s
)
i
)
=
∑
0
≤
i
1
,
…
,
i
k
<
∞
(
p
1
−
s
)
i
1
⋯
(
p
k
−
s
)
i
k
=
∑
0
≤
i
1
,
…
,
i
k
<
∞
(
p
1
i
1
⋯
p
k
i
k
)
−
s
=
∑
n
∈
M
(
T
)
n
−
s
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\prod _{p\in T}{\frac {1}{1-p^{-s}}}&={\frac {1}{1-p_{1}^{-s}}}\cdots {\frac {1}{1-p_{k}^{-s}}}\\&=\left(\sum _{i=0}^{\infty }(p_{1}^{-s})^{i}\right)\cdots \left(\sum _{i=0}^{\infty }(p_{k}^{-s})^{i}\right)\\&=\sum _{0\leq i_{1},\ldots ,i_{k}<\infty }(p_{1}^{-s})^{i_{1}}\cdots (p_{k}^{-s})^{i_{k}}\\&=\sum _{0\leq i_{1},\ldots ,i_{k}<\infty }(p_{1}^{i_{1}}\cdots p_{k}^{i_{k}})^{-s}\\&=\sum _{n\in M(T)}n^{-s}\,.\,\end{aligned}}}
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