Wachstum/Prozent/Textabschnitt

Viele Wachstumsprozesse in Natur und Gesellschaft sind von der Form, dass sich die Größe nach einem bestimmten Zeitraum (beispielsweise nach einem Jahr) zur Ausgangsgröße proportional mit einem bestimmten konstanten Proportionalitätsfaktor verhält. Beispiele hierfür sind das Wachstum einer Population oder die Inflation. Bei konstanten Bedingungen hängt das Wachstum einer Population mit einem festen Faktor, genannt Wachstumsfaktor, von der Größe der Population ab. Wenn sich beispielsweise eine gewisse Population, sagen wir Mäuse, auf katzenfreien, kornreichen Feldern, in einem Jahr verdoppelt, so werden in einem Jahr aus ${}100$ Mäusen ${}200$ Mäuse, aus ${}1000$ Mäusen ${}2000$ Mäuse u.s.w. Das Verhältnis der Population nach einem Jahr zur Population vor einem Jahr ist also konstant gleich ${}2$. Wenn die Bedingungen über einem längeren Zeitraum konstant sind, so ändert sich dieser Faktor nicht, und man muss von Jahr zu Jahr mit diesem Faktor multiplizieren. Nach ${}n$ Jahren gibt es dann ${}2^{n}x$ Mäuse, wenn ${}x$ die Größe der jetzigen Mauspopulation bezeichnet.

Jahre	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$
Mäuse	${}100$	${}200$	${}400$	${}800$	${}1600$	${}3200$	${}6400$

Der Wachstumsfaktor ${}2$ ist recht groß. Häufiger sind Wachstumsfaktoren wie ${}1,01$, ${}1,02$, ${}1,05$ und ähnliches. Bei einem Preisentwicklungsfaktor von ${}1,05$ erhält man beispielsweise (gerundete Werte)

Jahre	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$
Bierpreis auf der Wiesn	${}10$	${}10,50$	${}11,03$	${}11,58$	${}12,16$	${}12,76$	${}13,40$

Ein Wachstum wird häufig nicht mit dem Wachstumsfaktor beschrieben, sondern mit dem proportionalen Zuwachs, dem Zuwachsfaktor. Es wird also der proportionale Anteil in Bezug auf die Vorgängergröße angegeben, der hinzukommt. Bei einem Wachstumsfaktor von ${}2$ ist der Zuwachsfaktor gleich ${}1$ (die Größe der Population kommt in einem Jahr neu hinzu), in den weiteren genannten Beispielen ist der Zuwachsfaktor gleich ${}0,01$, ${}0,02$, ${}0,05$. Dieser Zuwachsfaktor wird zumeist in Prozent angegeben, man spricht von einem jährlichen Wachstum von ${}100\%$, von ${}1\%$, ${}2\%$, ${}5\%$. Eine Prozentangabe bei Wachstumsprozessen von ${}a\%$ bedeutet also einen Zuwachsfaktor von ${}{\frac {a}{100}}$ und einen Wachstumsfaktor von ${}{\frac {100+a}{100}}$. Wenn man einen Wachstumsprozess, der mit einer Prozentangabe beschrieben wird, über mehrere Jahre verstehen will, muss man also den Wachstumsfaktor ausrechnen und diesen potenzieren (mit der Anzahl der Jahre im Exponenten). Es ist falsch, die Prozentwerte mit der Anzahl der Jahre zu multiplizieren und dies als Gesamtzuwachs zu nehmen. Im Wiesnbeispiel führt die falsche Rechnung zu folgendem Ergebnis

Jahre	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$
Bierpreis auf der Wiesn (falsch gerechnet)	${}10$	${}10,50$	${}11$	${}11,50$	${}12$	${}12,50$	${}13$

Die Abweichung wird zunehmend größer, für kleine Zeiträume ist die einfachere falsche Rechnung als Überschlagsrechnung akzeptabel. Aufgrund der allgemeinen binomischen Formel ist

${}(1+a)^{n}=1+na+{\binom {n}{2}}a^{2}+{\binom {n}{3}}a^{3}+\cdots +a^{n}\,,$

und ${}1+na$ ist das Ergebnis bei der falschen Rechnung. Wenn ${}a$ wie häufig klein, etwa ${}\leq 0,05$ ist, so sind die höheren Potenzen ${}a^{2},a^{3}$ besonders klein, und das wird auch durch die Binomialkoeffizienten ${}{\binom {n}{i}}$ (bei nicht allzu großem ${}n$) nicht sehr groß gemacht. Der Fehler wird aber, egal wie klein der Prozentsatz ist, bei hinreichend großem ${}n$ beliebig groß.