Wegintegrale/t nach (t,t^(-1))/(u,v) nach (u^2,uv,-u+v^2)/xdx-zdy+dz/Aufgabe/Lösung

a) Die zurückgezogene Differentialform ist

${}{\begin{aligned}\varphi ^{*}(xdx-zdy+dz)&=u^{2}du^{2}-(-u+v^{2})duv+d(-u+v^{2})\\&=2u^{3}du+(u-v^{2})(vdu+udv)-du+2vdv\\&=(2u^{3}+uv-v^{3}-1)du+(u^{2}-uv^{2}+2v)dv.\end{aligned}}$

b) Das Wegintegral ist

${}{\begin{aligned}\int _{1}^{2}(2t^{3}+1-t^{-3}-1)dt+(t^{2}-t^{-1}+2t^{-1})dt^{-1}&=\int _{1}^{2}(2t^{3}-t^{-3})dt+(t^{2}+t^{-1})dt^{-1}\\&=\int _{1}^{2}(2t^{3}-t^{-3})dt-(1+t^{-3})dt\\&=\int _{1}^{2}(2t^{3}-2t^{-3}-1)dt\\&={\left({\frac {1}{2}}t^{4}+t^{-2}-t\right)}|_{1}^{2}\\&=8+{\frac {1}{4}}-2-{\frac {1}{2}}-1+1\\&=5+{\frac {3}{4}}.\end{aligned}}$

c) Der verknüpfte Weg ist

${}\psi (t)=(t^{2},1,-t+t^{-2})\,.$

Somit ist

${}{\begin{aligned}\int _{1}^{2}\psi ^{*}(xdx-zdy+dz)&=\int _{1}^{2}t^{2}dt^{2}+d(-t+t^{-2})\\&=\int _{1}^{2}(2t^{3}-1-2t^{-3})dt\\&=5+{\frac {3}{4}}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe