Wesentliche Singularität/Bildmenge/Casorati-Weierstrass/Fakt

Satz von Casorati-Weierstrass

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge,

${}a\in U$ ein Punkt und

$f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}f$ besitzt in ${}a$ eine wesentliche Singularität.
2. Für jede offene Kreisscheibenumgebung ${}U{\left(a,r\right)}$ ist das Bild ${}f{\left(U{\left(a,r\right)}\setminus \{a\}\right)}$ dicht in ${}{\mathbb {C} }$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen