Winkel/Skalarprodukt/Fokus auf C/Textabschnitt

Für von ${}0$ verschiedene Vektoren ${}v$ und ${}w$ in einem euklidischen Vektorraum ${}V$ folgt aus der der Ungleichung von Cauchy-Schwarz, dass

${}-1\leq {\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert }}\leq 1\,$

ist. Damit kann man mit Hilfe der trigonometrischen Funktion Kosinus (als bijektive Abbildung ${}[0,\pi ]\rightarrow [-1,1]$) bzw. der Umkehrfunktion den Winkel zwischen den beiden Vektoren definieren, nämlich durch

${}\angle (v,w):=\arccos {\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert }}\,.$

Der Winkel ist also eine reelle Zahl zwischen ${}0$ und ${}\pi$. Für ${}V=\mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2}$ mit dem reellen Standardskalarprodukt ist

${}\left\langle a+b{\mathrm {i} },c+d{\mathrm {i} }\right\rangle =ac+bd\,$

und somit ist der Winkel zwischen ${}v=a+b{\mathrm {i} }$ und ${}w=c+d{\mathrm {i} }$ gleich

${}\angle (v,w):=\arccos {\frac {ac+bd}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot {\sqrt {c^{2}+d^{2}}}}}=\arccos {\frac {\operatorname {Re} \,{\left(v\cdot {\overline {w}}\right)}}{\vert {v}\vert \cdot \vert {w}\vert }}\,.$