Winkel/Standardvektor zu Raumdiagonale/Limes/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}\left\langle e_{1},v_{n}\right\rangle =1\,$

und

${}\Vert {v_{n}}\Vert ={\sqrt {n}}\,.$

Somit ist

${}{\frac {\left\langle e_{1},v_{n}\right\rangle }{\Vert {e_{1}}\Vert \cdot \Vert {v_{n}}\Vert }}={\frac {1}{\sqrt {n}}}\,.$

Für ${}n\rightarrow \infty$ konvergiert dies gegen ${}0$. Da der Arkuskosinus stetig ist, konvergiert

${}\alpha _{n}=\arccos {\frac {\left\langle e_{1},v_{n}\right\rangle }{\Vert {e_{1}}\Vert \cdot \Vert {v_{n}}\Vert }}=\arccos {\frac {1}{\sqrt {n}}}\,$

gegen

${}\arccos 0={\frac {\pi }{2}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe