Wir behaupten
⊆ {\displaystyle {}\subseteq } : Es ist zunächst
Wegen
gehört auch 5 {\displaystyle {}{\sqrt {5}}} und dann auch 1 + 5 2 {\displaystyle {}{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} zu T {\displaystyle {}T} . Damit gehört 1 + 5 {\displaystyle {}1+{\sqrt {5}}} zum Hauptideal rechts. Somit gehört auch ( 1 + 5 ) i = i + − 5 {\displaystyle {}{\left(1+{\sqrt {5}}\right)}{\mathrm {i} }={\mathrm {i} }+{\sqrt {-5}}} und damit auch − 1 + − 5 {\displaystyle {}-1+{\sqrt {-5}}} und 1 + − 5 {\displaystyle {}1+{\sqrt {-5}}} zum Hauptideal.
Umgekehrt ist