Wurzelfunktion/Polynomiale Interpolation/Schnittpunkte/Aufgabe/Lösung
-
- Wie wenden
Fakt
an. Für das gesuchte Polynom soll
,
und
gelten. Da drei Interpolationspunkte vorgegeben sind, gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom vom Grad , das durch diese drei Punkte verläuft. Wir machen den Ansatz
wobei wegen der ersten Bedingung sofort folgt. Die beiden anderen Bedingungen führen auf
und
Daraus ergibt sich
und somit
und
Das gesuchte Polynom ist also
- Wir vergleichen nun
und .
Für
ist
wir vergleichen daher nur noch die Werte auf , wo beide Funktionen nichtnegativ sind. In diesem Bereich können wir die Quadrate der beiden Funktionen vergleichen, also und
Es geht also darum, wo die Differenzfunktion
auf Nullstellen besitzt und wo sie positiv oder negativ ist. Bei liegt eine Nullstelle vor, wir klammern daher aus, was das Vorzeichenverhalten nicht ändert, und erhalten als anderen Faktor
bzw.
Nach Konstruktion von wissen wir, dass bei und bei weitere Nullstellen vorliegen, dies führt zur Faktorisierung
Somit stimmen und genau an den Stellen überein und auf gilt
auf gilt
und auf gilt