Wurzelfunktion/Polynomiale Interpolation/Schnittpunkte/Aufgabe/Lösung


  1. Wie wenden Fakt an. Für das gesuchte Polynom soll , und gelten. Da drei Interpolationspunkte vorgegeben sind, gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom vom Grad , das durch diese drei Punkte verläuft. Wir machen den Ansatz

    wobei wegen der ersten Bedingung sofort folgt. Die beiden anderen Bedingungen führen auf

    und

    Daraus ergibt sich

    und somit

    und

    Das gesuchte Polynom ist also

  2. Wir vergleichen nun und . Für ist

    wir vergleichen daher nur noch die Werte auf , wo beide Funktionen nichtnegativ sind. In diesem Bereich können wir die Quadrate der beiden Funktionen vergleichen, also und

    Es geht also darum, wo die Differenzfunktion

    auf Nullstellen besitzt und wo sie positiv oder negativ ist. Bei liegt eine Nullstelle vor, wir klammern daher aus, was das Vorzeichenverhalten nicht ändert, und erhalten als anderen Faktor

    bzw.

    Nach Konstruktion von wissen wir, dass bei und bei weitere Nullstellen vorliegen, dies führt zur Faktorisierung

    Somit stimmen und genau an den Stellen überein und auf gilt

    auf gilt

    und auf gilt