Wurzelziehen/Heronverfahren/Angeordneter Körper/Beispiel

Beim Heron-Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von ${}{\sqrt {c}}$ einer positiven Zahl ${}c$ geht man iterativ wie folgt vor. Man startet mit einem beliebigen positiven Startwert ${}x_{0}$ und berechnet davon das arithmetische Mittel aus ${}x_{0}$ und ${}{\frac {c}{x_{0}}}$. Dieses Mittel nennt man ${}x_{1}$. Es gilt

${}x_{1}^{2}-c={\left({\frac {x_{0}+{\frac {c}{x_{0}}}}{2}}\right)}^{2}-c={\frac {x_{0}^{2}+2c+{\frac {c^{2}}{x_{0}^{2}}}}{4}}-c={\frac {x_{0}^{2}-2c+{\frac {c^{2}}{x_{0}^{2}}}}{4}}={\left({\frac {x_{0}-{\frac {c}{x_{0}}}}{2}}\right)}^{2}\geq 0\,.$

D.h. dass ${}x_{1}$ mindestens so groß wie ${}{\sqrt {c}}$ ist. Auf ${}x_{1}$ wendet man iterativ das gleiche Verfahren an und erhält so ${}x_{2}$ usw. Die rekursive Definition von ${}x_{n+1}$ lautet also

${}x_{n+1}={\frac {x_{n}+{\frac {c}{x_{n}}}}{2}}\,.$

Nach Konstruktion weiß man, dass ${}{\sqrt {c}}$ in jedem Intervall ${}[c/x_{n},x_{n}]$ (für ${}n\geq 1$) liegt, da aus ${}x_{n}^{2}\geq c$ direkt ${}{\left({\frac {c}{x_{n}}}\right)}^{2}={\frac {c^{2}}{x_{n}^{2}}}\leq {\frac {c^{2}}{c}}=c$ folgt. Bei jedem Schritt gilt

${}[{\frac {c}{x_{n+1}}},x_{n+1}]\subseteq [{\frac {c}{x_{n}}},x_{n}]\,,$

d.h. das Nachfolgerintervall liegt innerhalb des Vorgängerintervalls. Dabei wird bei jedem Schritt die Intervalllänge mindestens halbiert.