X^2 und Wurzel aus x/Eingeschlossene Fläche/Aufgabe/Lösung

Für ${}x$ zwischen ${}0$ und ${}1$ ist ${}0\leq x^{2}\leq x\leq {\sqrt {x}}\leq 1$ und für ${}x\geq 1$ ist ${}x^{2}\geq {\sqrt {x}}$. Die eingeschlossene Fläche liegt also innerhalb des Einheitsquadrates. Daher ist der Flächeninhalt gleich dem bestimmten Integral der Wurzelfunktion von ${}0$ bis ${}1$ minus dem bestimmten Integral (in den gleichen Grenzen) zur Parabel. Daher ist der Flächeninhalt gleich

${}{\begin{aligned}A&=\int _{0}^{1}{\sqrt {x}}dx-\int _{0}^{1}x^{2}dx\\&={\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}|_{0}^{1}-{\frac {1}{3}}x^{3}|_{0}^{1}\\&={\frac {2}{3}}-{\frac {1}{3}}\\&={\frac {1}{3}}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe