X^3-3X+1/Irreduzibel über Q/Aufgabe/Lösung


Nach Fakt genügt es zu zeigen, dass keine rationale Nullstelle besitzt. Nehmen wir an, dass

eine Nullstelle ist mit in gekürzter Darstellung. Es gilt dann

bzw.

Wenn eine Primzahl die Zahl teilt, folgt daraus, dass auch von geteilt wird, was der Gekürztheit widerspricht. Wegen ist auch . Also muss eine Einheit sein. Wenn von einer Primzahl geteilt wird, so wäre auch ein Vielfaches von . Also ist auch eine Einheit. Die verbleibenden Möglichkeiten , also ,

sind keine Nullstelle des Polynoms, wie Einsetzen zeigt.