XY^3+YZ^3+ZX^3/Glatt/C/Aufgabe/Lösung

Da die Situation symmetrisch in den Variablen ist, genügt es, die Situation auf ${}D_{+}(Z)$ zu betrachten. Die inhomogene Gleichung der Kurve lautet dort

${}XY^{3}+Y+X^{3}=0\,.$

Die partiellen Ableitungen sind

${\frac {\partial {\left(XY^{3}+Y+X^{3}\right)}}{\partial X}}=Y^{3}+3X^{2}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial {\left(XY^{3}+Y+X^{3}\right)}}{\partial Y}}=1+3XY^{2}.$

Wir ziehen das ${}X$-fache der ersten Ableitung von der Kurvengleichung ab und erhalten die Bedingung

${}Y=2X^{3}\,.$

Dies setzen wir in die Kurvengleichung und in die zweite Ableitung ein und erhalten

${}{\begin{aligned}0&=XY^{3}+Y+X^{3}\\&=8X^{10}+2X^{3}+X^{3}\\&=X^{3}{\left(8X^{7}+3\right)}\end{aligned}}$

und

${}1+3XY^{2}=1+12X^{7}\,.$

Wegen letzterer Gleichung ist ${}X=0$ ausgeschlossen. Also müsste für einen singulären Punkt

${}-{\frac {3}{8}}=X^{7}=-{\frac {1}{12}}\,$

gelten, was nicht sein kann.

Zur gelösten Aufgabe