Z^n/Spektrum/Fundamentalgruppe/Aufgabe

Zeige, dass sich die folgenden Objekte in natürlicher Weise entsprechen.

1. Gruppenhomomorphismen von ${}\mathbb {Z} ^{r}$ nach ${}\mathbb {Z}$.
2. ${}{\mathbb {C} }$-Algebrahomomorphismen

   ${\mathbb {C} }[X_{1},X_{1}^{-1},\ldots ,X_{r},X_{r}^{-1}]\longrightarrow {\mathbb {C} }[T,T^{-1}]$

   der Form

   $X_{i}\longmapsto T^{a_{i}}$

   mit ${}a_{j}\in \mathbb {Z}$.

3. Multiplikative Abbildungen von ${}{\mathbb {C} }^{\times }$ nach ${}{\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{r}$ der Form

   $z\longmapsto \left(z^{a_{1}},\,\ldots ,\,z^{a_{r}}\right)$

   mit ${}a_{j}\in \mathbb {Z}$.

4. Monoidhomomorphismen von ${}\mathbb {N} ^{r}$ nach ${}\mathbb {Z}$.
5. Multiplikative Abbildungen von ${}{\mathbb {C} }^{\times }$ nach ${}{\mathbb {C} }^{r}$ der Form

   $z\longmapsto \left(z^{a_{1}},\,\ldots ,\,z^{a_{r}}\right)$

   mit ${}a_{j}\in \mathbb {Z}$.

6. Stetige Abbildungen

   $[0,2\pi ]\longrightarrow {\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{r}$

   der Form

   $s\longmapsto \left(e^{a_{1}{\mathrm {i} }s},\,\ldots ,\,e^{a_{r}{\mathrm {i} }s}\right)$

   ${}a_{j}\in \mathbb {Z}$.

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