Zählen/Endliche Mengen/Einführung/Textabschnitt

Die vielleicht wichtigste Funktion der natürlichen Zahlen ist es, zu einer gegebenen endlichen Menge ${}M$ zu beschreiben, wie viele Elemente sich in ihr befinden, was ihre Anzahl ist. Man möchte beispielsweise wissen, wie viele Äpfel in einem Korb drin sind oder wie viele Schüler im Bus sind. Das übliche praktische Verfahren, die Anzahl einer endlichen Menge zu bestimmen, ist, die Elemente mit ${}1,2,3,\ldots ,n$ durchzuzählen (die Elemente durchzunummerieren), wobei jedes Element genau eine Nummer bekommt. Die letzte benötigte Zahl ${}n$ ist dann die Anzahl der Menge. Um sich die Richtigkeit und Sinnhaftigkeit dieses Verfahrens klar zu machen, es ist hilfreich, mögliche Fehlerquellen, die auch praktisch häufig auftreten, zu erkennen.

1. Man beherrscht das Zählen der natürlichen Zahlen nicht. Dann zählt man die Äpfel nacheinander als

   $5,7,1,8,3,3,4.$

2. Man beherrscht zwar das Zählen der natürlichen Zahlen, kommt aber im Zählvorgang durcheinander, etwa wenn die Schüler sich bewegen oder wenn man unterbrochen wird. Dann zählt man

   $1,2,3,4,5,{\text{ wo war ich gerade ? }},5,6,7,{\text{ wie bitte ? }},9,10.$

3. Man zählt die Zahlen ohne Lücken und ohne Wiederholungen richtig ab, aber man übersieht Elemente.
4. Man zählt die Zahlen ohne Lücken und ohne Wiederholungen richtig ab, aber man zählt gewisse Elemente mehrfach.

Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ bezeichnen wir mit ${}\{1,\ldots ,n\}$ diejenige Teilmenge der natürlichen Zahlen, die aus genau den Zahlen besteht, die man von ${}1$ ausgehend durch sukzessives Nachfolgernehmen erhält, bis man bei ${}n$ anlangt und dann aufhört. Die Elemente ${}1$ und ${}n$ gehören also insbesondere dazu. Diese Mengen sind für uns die Standardmengen (oder Referenzmengen) mit genau ${}n$ Elementen. Wir werden beliebige endliche Mengen dadurch abzählen, dass wir sie mit solchen Standardmengen in Beziehung setzen (die leere Menge betrachten wir auch als eine Standardmenge). Zu zwei natürlichen Zahlen ${}k$ und ${}n$, wobei ${}n$ im Zählprozess nach ${}k$ kommt, bezeichnen wir mit ${}\{k,\ldots ,n\}$ die Menge aller Zahlen, die man von ${}k$ ausgehend durch sukzessives Zählen erreicht, bis man schließlich bei ${}n$ anlangt und dann aufhört.

Wenn man richtig zählt, erhält man eine Zuordnung zwischen den beiden Mengen

$\{1,2,\ldots ,n\}\,\,{\text{ und der gegebenen Menge }}\,\,M,$

bei der jeder natürlichen Zahl zwischen ${}1$ und ${}n$ genau einem Element der Menge und umgekehrt entspricht. Intuitiv (oder nur im Sinne einer Gewohnheit) ist es klar, dass beim richtigen Zählen der Menge ${}M$ stets die gleiche Zahl ${}n$ als Anzahl herauskommt, dass also die Anzahl unabhängig von der Zählreihenfolge ist. Kann man das genauer begründen? Sowohl diese Frage als auch die oben erwähnten Fehlerquellen können mit dem Abbildungsbegriff beantwortet bzw. analysiert werden.