Z/Automorphismengruppe/Aufgabe/Lösung

Jeder Gruppenhomomorphismus von ${}\mathbb {Z}$ nach ${}\mathbb {Z}$ ist von der Form

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,x\longmapsto dx,$

mit einer festen Zahl ${}d\in \mathbb {Z}$. Bei ${}d=0$ ist dies die Nullabbildung, bei ${}d\geq 2$ und ${}d\leq -2$ ist diese Abbildung nicht surjektiv, da ${}1$ nicht im Bild liegt. Dagegen ist bei

${}d=1,-1\,$

die Abbildung bijektiv, also ein Automorphismus. Somit ist

${}\operatorname {Aut} \,\mathbb {Z} =\{\operatorname {Id} _{\mathbb {Z} },-\operatorname {Id} _{\mathbb {Z} }\}\,.$

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