Z adjungiert 2i/Einheitswurzelgruppe/Beispiel

Wir betrachten den Ring

${}R=\mathbb {Z} [2{\mathrm {i} }]\subseteq \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]\subseteq \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]=K\,.$

Der Quotientenkörper von ${}R$ ist ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$, ${}R$ ist nicht normal. In ${}R$ gibt es nur die Einheitswurzeln ${}1$ und ${}-1$, im Quotientenkörper gibt es dagegen die Einheitswurzeln ${}1,-1,{\mathrm {i} },-{\mathrm {i} }$.