Z mod 2 hoch 3/Endliche eigentliche Symmetriegruppe/Aufgabe/Lösung

1. Die endlichen Gruppen, die als eigentliche Bewegungsgruppe eines geometrisches Objektes ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ auftreten, sind in Fakt klassifiziert. Die Gruppe ${}G=\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$ hat acht Elemente, deshalb scheiden die Tetraedergruppe, die Würfelgruppe und die Ikosaedergruppe aus. Aufgrund der Anzahl könnte ${}G$ höchstens die zyklische Gruppe der Ordnung ${}8$, also ${}\mathbb {Z} /(8)$ sein, oder die Diedergruppe ${}D_{4}$. Diese enthält aber die zyklische Gruppe der Ordnung vier. In ${}G$ haben aber alle Elemente außer dem neutralen Element die Ordnung ${}2$, sodass auch diese beiden Gruppen ausgeschlossen sind.
2. Die acht Matrizen

   ${\begin{pmatrix}\pm 1&0&0\\0&\pm 1&0\\0&0&\pm 1\end{pmatrix}}$

   sind allesamt Isometrien, und da es sich um Diagonalmatrizen handelt, bilden sie eine Gruppe, die isomorph zu

   ${}\{\pm 1\}\times \{\pm 1\}\times \{\pm 1\}\cong \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\,$

   ist.

3. Die Hintereinanderschaltung von zwei Halbdrehungen um verschiedene Quaderachsen ergibt die Halbdrehung um die dritte Achse, deshalb ist die Symmetriegruppe nicht ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$, sondern ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$.

Zur gelösten Aufgabe