Z mod 35/17 hoch 1000000/Aufgabe/Lösung

Der Zahl ${}17$ entspricht in ${}\mathbb {Z} /(35)\cong \mathbb {Z} /(5)\times \mathbb {Z} /(7)$ das Paar ${}(2,3)$. Das Element ${}2$ hat in ${}\mathbb {Z} /(5)$ die Ordnung ${}4$. Das Element ${}3$ hat in ${}\mathbb {Z} /(7)$ wegen ${}3^{2}=2\neq 1$ und ${}3^{3}=6\neq 1$ die Ordnung ${}6$. Somit besitzt ${}17$ die multiplikative Ordnung ${}12$. In ${}\mathbb {Z} /(12)$ gilt (durch abziehen von Vielfachen von $12$)

${}1000000=40000=4000=400=40=4\,.$

Daher ist die gefragte Potenz in Produktschreibweise gleich

${}(2^{4},3^{4})=(4^{2},2^{2})=(1,4)\,.$

Diesem Paar entspricht das Element ${}11$.

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