Z mod p/Polynomring/Frei via Frobenius/Beispiel

Auf dem Restklassenkörper ist der Frobeniushomomorphismus die Identität nach dem kleinen Fermat. Auf dem Polynomring

stimmt daher der Frobeniushomomorphismus mit dem Einsetzungshomomorphismus

überein. Daher bilden die Monome , , eine -Basis von . Dabei ist klar, dass ein Erzeugendensystem vorliegt, da man jedes Monom wegen

als

schreiben kann, und das Monom links vom Frobenius herrührt. Da diese Darstellung eindeutig ist, sind die angegebenen Monome auch linear unabhängig. Der -Modul ist also frei von Rang . Die entsprechende Überlegung zeigt, dass frei vom Rang ist.