Zahlbereich/Additiv und multiplikativ isomorph/Aufgabe/Lösung

Wir suchen unter den quadratischen Zahlbereichen. Nach Fakt ist ihre additive Struktur stets gleich ${}\mathbb {Z} ^{2}$, einen additiven Isomorphismus gibt es also stets. Zu verschiedenen quadratfreien Zahlen ${}D,E\neq 0,1$ sind die Ringe ${}A_{D}$ und ${}A_{E}$ nicht isomorph, da in ${}A_{D}$ die Zahl ${}E$ keine Quadratwurzel besitzt (dies gilt sogar in den Quotientenkörpern, und ein Ringisomorphismus der Ringe würde einen Körperisomorphismus auf den Quotientenkörpern induzieren). Um einen Isomorphismus der multiplikativen Struktur zu erhalten, such wir nach Beispielen, wo diese besonders einfach ist. Dies trifft im faktoriellen Fall zu, dann dann jedes von ${}0$ verschiedene Element ${}f$ eine Darstellung

${}f=up_{1}^{k_{1}}\cdots p_{r}^{k_{r}}\,$

mit einer Einheit ${}u$ besitzt, und wobei die ${}p_{i}$ bis auf Assoziiertheit eindeitg bestimmt sind. Um Komplikationen mit Einheiten aus dem Weg zu gehen, betrachten wir imaginär-quadratische Zahlkörper zu

${}D\leq -5\,,$

da dort nur ${}1$ und ${}-1$ Einheiten sind. Somit betrachten wir die beiden quadratischen Zahlbereiche ${}A_{D}$ zu ${}D=-7$ und ${}D=-11$, die nach Fakt faktoriell sind. In beiden Ringen gibt es abzählbar unendlich viele Primelemente und man wählt in beiden Ringen Assoziiertheitsklassen ${}p_{n}\in A_{-7},\,n\in \mathbb {N} ,$ bzw. ${}q_{n}\in A_{-11},\,n\in \mathbb {N} ,$ aus Primelementen aus. Dann erhält man durch die Zuordnung

$A_{-7}\longrightarrow A_{-11},\,\pm \prod _{n\in \mathbb {N} }p_{n}^{k_{n}}\longmapsto \pm \prod _{n\in \mathbb {N} }q_{n}^{k_{n}}$

(und ${}0$ auf ${}0$)

einen Monoidisomorphismus.

Zur gelösten Aufgabe