Zahlbereich/Diskriminante/Nichtreduzierter Faserring/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ eine Ganzheitsbasis von ${}R$. Die Matrix ${}M$ mit den Einträgen ${}\operatorname {Spur} {\left(b_{i}b_{j}\right)}$ ist die Gramsche Matrix der Spurform. Die Gramsche Matrix ${}M'$ der Spurform zu ${}R/(p)$ über ${}\mathbb {Z} /(p)$ bezüglich der ${}\mathbb {Z} /(p)$-Basis ${}{\overline {b}}_{1},\ldots ,{\overline {b}}_{n}$ entsteht daraus nach Fakt durch komponentenweise Reduktion. Da das Berechnen der Determinante mit beliebigen Ringwechseln verträglich ist, ist die Determinante von ${}M'$ gleich der Determinante von ${}M$ (also der Diskriminante von ${}R$) modulo ${}p$ genommen. Somit ist ${}p$ genau dann ein Teiler der Diskriminante von ${}R$, wenn die Diskriminante des Faserringes gleich ${}0$ ist. Dies ist nach Fakt äquivalent dazu, dass der Faserring nicht reduziert ist.

Zur bewiesenen Aussage