Zahlbereich/Einheiten/Potenzbeziehung/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Abbildung

$L\colon R^{\times }\longrightarrow R^{\times }/\mu _{}{\left(R\right)}\cong \mathbb {Z} ^{r+s-1}\subseteq \mathbb {R} ^{r+s},$

wobei die hintere Identifizierung auf dem Dirichletschen Einheitensatz beruht. Nach Voraussetzung ist (additiv geschrieben)

${}aL(u)=bL(v)\,$

in ${}\mathbb {Z} ^{r+s}$. Dies bedeutet, dass ${}L(u)$ und ${}L(v)$ als Vektoren im ${}\mathbb {R} ^{r+s}$ linear abhängig sind und auf einer Geraden liegen. Da das Bild der Einheitengruppe unter ${}L$ diskret ist, liegen sie auf einer diskreten Geraden. D.h. es gibt ein ${}w\in R^{\times }$ und ${}c,d\in \mathbb {Z}$ mit ${}L(u)=cL(w)$ und ${}L(v)=dL(w)$. Das bedeutet, dass modulo der Einheitenwurzelgruppe ${}u$ gleich ${}w^{c}$ und ${}v$ gleich ${}w^{d}$ ist. Ausgeschrieben bedeutet dies, dass es Einheitswurzeln ${}\zeta ,\xi$ in ${}R$ gibt mit ${}u=\zeta w^{c}$ und

${}v=\xi w^{d}$.

Zur gelösten Aufgabe