Zahlbereich/Element/Einheit/Norm/Z/Fakt/Beweis

Beweis

Wenn ${}f\in R$ eine Einheit ist, so ist ${}fg=1$ mit einem ${}g\in R$ und aus der Multiplikativität der Norm folgt

${}N(f)N(g)=N(1)=1\,,$

woraus nach Fakt ${}N(f)=\pm 1$ folgt. Die Umkehrung folgt aus Fakt und daraus, dass dann die Multiplikationsabbildung zu ${}f$ auf ${}R\cong \mathbb {Z} ^{n}$ bijektiv ist.

Zur bewiesenen Aussage