Zahlbereich/Endliche Erweiterung/Verzweigungsordnung/Idealzerlegung/Diskreter Bewertungsring/Fakt

Es sei ${}R\subseteq S$ eine endliche Erweiterung von Zahlbereichen und es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal von ${}R$ . Es sei

{}{\mathfrak {p}}S={\mathfrak {q}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{r_{k}}\,

die Idealzerlegung des Erweiterungsideales ${}{\mathfrak {p}}S$ im Sinne von Fakt.

Dann ist ${}r_{j}$ die Verzweigungsordnung von

$R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow S_{{\mathfrak {q}}_{j}}.$

Insbesondere findet über ${}{\mathfrak {p}}$ genau dann Verzweigung statt, wenn ein ${}r_{j}\geq 2$ ist.