Zahlbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Restekörper/Zerlegungseigenschaft/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ nicht verzweigt und sei ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}$. Nehmen wir an, dass ${}{\mathfrak {p}}$ unzerlegt ist, dass also ${}{\mathfrak {q}}$ das einzige Primideal darüber ist. Dann liegt nach Fakt  (3) ein Gruppenisomorphismus

$G=G_{\mathfrak {q}}\longrightarrow \operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {q}}){|}\kappa ({\mathfrak {p}}))$

vor. Da die Gruppe rechts nach Fakt bzw. nach Fakt zyklisch ist, ergibt sich ein Widerspruch zur Voraussetzung.

Zur bewiesenen Aussage