Zahlbereich/Galoissch/Einheiten/Zwischenring/Aufgabe

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ eine endliche Galoiserweiterung mit zugehörigem Zahlbereich ${}R$. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. Die Einheiten bilden ein Algebraerzeugendensystem von ${}R$ über ${}\mathbb {Z}$.
2. Für jeden Zahlbereich ${}S\subset R$ ist die Einheitengruppe ${}S^{\times }$ eine echte Teilmenge von ${}R^{\times }$.
3. Die Wirkung der Galoisgruppe auf ${}R^{\times }$ ist treu.

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