Zahlbereich/Ideal/Einführung/Textabschnitt

In ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ ist jedes Ideal ein Hauptideal und es ist

${}(a+b{\mathrm {i} })={\left\{m(a+b{\mathrm {i} })+n{\mathrm {i} }(a+b{\mathrm {i} })\mid m,n\in \mathbb {Z} \right\}}\cong \mathbb {Z} ^{2}\,$

(die letzte Gleichung setzt voraus, dass es sich nicht um das Nullideal handelt). Eine ähnlich einfache Gruppenstruktur gilt für jedes Ideal in einem Zahlbereich, was wir in Fakt beweisen werden.

Lemma

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich.

Dann enthält jedes von ${}0$ verschiedene Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ eine Zahl ${}m\in \mathbb {Z}$ mit ${}m\neq 0$.

Beweis

Sei ${}0\neq f\in {\mathfrak {a}}$. Dieses Element ist nach der Definition eines Zahlbereiches ganz über ${}\mathbb {Z}$ und erfüllt demnach eine Ganzheitsgleichung

${}f^{n}+k_{n-1}f^{n-1}+k_{n-2}f^{n-2}+\cdots +k_{1}f+k_{0}=0\,$

mit ganzen Zahlen ${}k_{i}$. Bei ${}k_{0}=0$ kann man die Gleichung mit ${}f$ kürzen, da ${}f\neq 0$ ein Nichtnullteiler ist. So kann man sukzessive fortfahren und erhält schließlich eine Ganzheitsgleichung, bei der der konstante Term nicht ${}0$ ist. Es sei also in obiger Gleichung ${}k_{0}\neq 0$. Dann ist

${}f{\left(f^{n-1}+k_{n-1}f^{n-2}+k_{n-2}f^{n-3}+\cdots +k_{1}\right)}=-k_{0}\,$

und somit ist ${}k_{0}\in (f)\cap \mathbb {Z} \subseteq {\mathfrak {a}}$.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}R$. Dann enthält ${}{\mathfrak {a}}$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$, die eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}L$ sind.

Beweis

Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}L$. Das Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ enthält nach Fakt ein Element ${}0\neq m\in {\mathfrak {a}}\cap \mathbb {Z}$. Nach (dem Beweis von) Fakt kann man ${}v_{i}={\frac {r_{i}}{n_{i}}}$ mit ${}r_{i}\in R$ und ${}n_{i}\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}$ schreiben. Dann sind die ${}m(n_{i}v_{i})\in {\mathfrak {a}}$ und sie bilden ebenfalls eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}L$.

$\Box$