Wir starten mit einem Ideal
und vergleichen
und .
Es ei zunächst . Es ist dann
für jedes Primideal , sodass natürlich
gilt. Also ist . Ist hingegen , so gibt es
nach Aufgabe
auch ein Primideal mit . Da ein
diskreter Bewertungsring
ist, gilt
.
Also ist und somit .
Wir starten nun mit einem effektiven Divisor und vergleichen mit . Die Abschätzung
ist trivial. Für die andere Richtung fixieren wir ein Primideal und bezeichnen mit die Ordnung von an dieser Primstelle. Wir haben ein zu finden, das an der Stelle die Ordnung besitzt. Es sei ein Element in derart, dass in das maximale Ideal erzeugt. Es seien alle Primideale , an denen von verschieden ist. Da alle von verschiedenen Primideale in maximal sind, gibt es zu jedem ein mit
und .
Dann hat, für hinreichend große , das Element
-
einerseits die Eigenschaft
,
also , und andererseits die Eigenschaft
wie gewünscht, da die in die Ordnung null haben.
Der Zusatz folgt aus
Fakt.