Zahlbereich/Logarithmische Gesamteinbettung/Rein reell und imaginär-quadratische Erweiterung/Aufgabe

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ eine endliche Körpererweiterung mit ausschließlich reellen Einbettungen. Es sei ${}K\subseteq L$ eine quadratische Körpererweiterung und ${}L$ besitze keine reelle Einbettung. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}K^{\times }&{\stackrel {\tau ^{\mathbb {R} }}{\longrightarrow }}&{\left(\mathbb {R} ^{\times }\right)}^{r}&{\stackrel {\ln \vert {-}\vert }{\longrightarrow }}&\mathbb {R} ^{r}&\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \cdot 2\!\!\!\!\!&&\\L^{\times }&{\stackrel {\tau ^{\mathbb {R} }}{\longrightarrow }}&{\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{r}&{\stackrel {2\ln \vert {-}\vert }{\longrightarrow }}&\mathbb {R} ^{r}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

existiert, wobei die Abbildungen rechts komponentenweise zu verstehen sind und wobei die horizontalen Abbildungen die logarithmischen Gesamtabbildungen sind.

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