Zahlbereich/Nenneraufnahme/Isomorphie/Aufgabe

Es seien ${}R$ und ${}S$ Zahlbereiche. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}R$ und ${}S$ sind isomorph.
2. Es gibt ein ${}f\in R$ und ein ${}g\in S$, beide nicht ${}0$, derart, dass die Nenneraufnahmen ${}R_{f}$ und ${}S_{g}$ zueinander isomorph sind.
3. Es gibt ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ von ${}R$ und ein Primideal ${}{\mathfrak {q}}$ von ${}S$ derart, dass die Lokalisierungen ${}R_{\mathfrak {p}}$ und ${}S_{\mathfrak {q}}$ zueinander isomorph sind.
4. Die Quotientenkörper ${}Q(R)$ und ${}Q(S)$ sind isomorph.

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