Zahlbereich/Neunter reeller Kreisteilungsring/Modulo 7/Aufgabe/Lösung

1. Das Polynom ${}X^{3}-3X+1$ besitzt über ${}\mathbb {Z} /(7)$ keine Nullstelle, daher ist es ein irreduzibles Polynom in ${}\mathbb {Z} /(7)[X]$.
2. Es ist

   ${}\mathbb {Z} /(7)[X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}={\mathbb {F} }_{7^{3}}\,$

   der Körper mit ${}343$ Elementen. Es ist

   ${}{\begin{aligned}x^{7}&={\left(x^{3}\right)}^{2}x\\&={\left(3x-1\right)}^{2}x\\&={\left(9x^{2}-6X+1\right)}x\\&=2x^{3}+x^{2}+x\\&=2{\left(3x-1\right)}+x^{2}+x\\&=x^{2}-2\end{aligned}}$

   und

   ${}{\begin{aligned}x^{49}&={\left(x^{7}\right)}^{7}\\&={\left(x^{2}-2\right)}^{7}\\&=x^{14}-2^{7}\\&={\left(x^{2}-2\right)}^{2}-2\\&=x^{4}-4x^{2}+2\\&=x{\left(3x-1\right)}-4x^{2}+2\\&=-x^{2}-x+2.\end{aligned}}$

3. Die Einheitengruppe des Körpers mit ${}343$ Elementen ist eine zyklische Gruppe mit ${}342$ Elementen. Um zu zeigen, dass darin ${}x$ eine dritte Wurzel besitzt, genügt es, zu zeigen, dass

   ${}x^{114}=1\,$

   gilt. Die drei Elemente ${}x,x^{2}-2,-x^{2}-x+2$ werden durch den Frobenius ineinander überführt und sind somit die Nullstellen von ${}X^{3}-3X+1$. Somit ist das Produkt der drei Nullstellen gleich ${}-1$. Insgesamt ist daher

   ${}{\begin{aligned}x^{114}&=x^{49}\cdot x^{49}\cdot x^{7}\cdot x^{7}\cdot x^{2}\\&=(-x^{2}-x+2)^{2}(x^{2}-2)^{2}\cdot x^{2}\\&=(-x^{2})^{-1}\cdot x^{2}\\&=1.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe