Zahlbereich/Neunter reeller Kreisteilungsring/Modulo 7/Aufgabe/Lösung


  1. Das Polynom besitzt über keine Nullstelle, daher ist es ein irreduzibles Polynom in .
  2. Es ist

    der Körper mit Elementen. Es ist

    und

  3. Die Einheitengruppe des Körpers mit Elementen ist eine zyklische Gruppe mit Elementen. Um zu zeigen, dass darin eine dritte Wurzel besitzt, genügt es, zu zeigen, dass

    gilt. Die drei Elemente werden durch den Frobenius ineinander überführt und sind somit die Nullstellen von . Somit ist das Produkt der drei Nullstellen gleich . Insgesamt ist daher