(1) und (2) folgen direkt aus Fakt. Bei (3) ist zu beachten, dass für f∈R{\displaystyle {}f\in R} gilt, dass f∈p{\displaystyle {}f\in {\mathfrak {p}}} genau dann gilt, wenn f∈pRp{\displaystyle {}f\in {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}} ist. Letzteres bedeutet nämlich, dass f=q1f1+⋯+qnfn{\displaystyle {}f=q_{1}f_{1}+\cdots +q_{n}f_{n}} mit fi∈p{\displaystyle {}f_{i}\in {\mathfrak {p}}} und qi∈Rp{\displaystyle {}q_{i}\in R_{\mathfrak {p}}} ist, also qi=risi{\displaystyle {}q_{i}={\frac {r_{i}}{s_{i}}}} mit si∉p{\displaystyle {}s_{i}\notin {\mathfrak {p}}}. Mit dem Hauptnenner s=s1⋯sn{\displaystyle {}s=s_{1}\cdots s_{n}} ist dann sf=a1f1+⋯+anfn∈p{\displaystyle {}sf=a_{1}f_{1}+\cdots +a_{n}f_{n}\in {\mathfrak {p}}}, woraus f∈p{\displaystyle {}f\in {\mathfrak {p}}} folgt. Damit folgt die Behauptung aus Fakt.
