Zahlbereich/Reine kubische Erweiterung/Beschreibung/Fakt/Beweis

Beweis

Das Polynom besitzt keine rationale Nullstelle, ist also irreduzibel und somit liegt eine Körpererweiterung vom Grad vor.

  1. Es ist unmittelbar klar, dass zu gehört und eine Ganzheitsgleichung erfüllt. Ferner ist

    d.h. gehört ebenfalls zu , die Ganzheit ist klar.

  2. Wegen liegen auch diese kubischen Terme in dem Ideal. Wir haben durch und einen surjektiven Ringhomomorpismus

    da und die angegebenen Relationen erfüllen. Diese Relationen zeigen auch, dass rechts die Gruppe steht, da man alle Produkte darin schon ausdrücken kann. Eine weitere Relation kann es nicht geben, da über linear unabhängig sind.

  3. Wir zeigen nun, dass unter der angegebenen Bedingung normal ist. Wenn eine Primzahl weder in noch in vorkommt und nicht ist, so ist

    da man schreiben und überall ersetzen kann, da in eine Einheit ist. Die entstehenden Erzeuger sind und Vielfache davon. Die Faser über ist somit mit einer Einheit . Das beschreibende Polynom und seine Ableitung erzeugen das Einheitsideal (die Faser über ist also reduziert) und damit ist nach Fakt die Nenneraufnahme von an normal.

    Es sei nun ein Teiler von (wobei der Fall erlaubt ist). Dann ist wieder . Modulo ist dies , somit ist das einzige Primideal oberhalb von gleich . Da wir

    mit und teilerfremd schreiben können, gilt

    und daher wird dieses Primideal von erzeugt. Diese Nenneraufnahmen sind also auch normal.

    Betrachten wir nun

    und nehmen weiter an, dass weder in noch in vorkommt. Dann kann man wieder die Nenneraufnahme monogen als beschreiben. Modulo ist dies

    und somit liegt über das einzige Primideal . Wir bestimmen, unter welchen Bedingungen ein Erzeuger dieses Ideals ist. Der Ring modulo ist

    da in unserem Fall und Einheiten sind. Es geht darum, ob dieser Ring gleich ist oder nicht, und somit geht es darum, ob die Ordnung von gleich oder höher ist. Wir schreiben und und betrachten zuerst den Fall, wo ist. Dann ist und wir müssen betrachten. Modulo ist dies . Dabei gilt

    genau in den Fällen

    Bei ist und wir müssen betrachten. Dabei gilt

    genau in den Fällen

    Unter der Voraussetzung ist also der Exponent der in genau . Somit ist und das einzige Primideal oberhalb von ist in der Lokalisierung auch ein Hauptideal.

  4. Es ist

    Die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms dieses Elementes sind nach Aufgabe gleich , und

    Unter der Bedingung ist , wir setzen und . In diesen Fällen ist

    also stets ein Vielfaches von . Ferner ist

    Bei ist dies sogar ein Vielfaches von . Bei sind die hinteren Summanden zusammen gleich

    also ein Vielfaches von und daher ist ganz.

    Wir zeigen nun, dass die von erzeugte Algebra normal ist. Es sei

    mit ein Element, das über eine Ganzheitsgleichung erfüllt, und wir müssen zeigen, dass es zu gehört. Aufgrund der Spurbedingung ist ganzzahlig. Wir ziehen (oder ) von ab und können dann annehmen. Die weiteren Koeffizientenbedingungen an das charakteristische Polynom besagen, dass und ganzzahlig sind. Da kein Vielfaches von ist, ist

    also oder , und

    Im ersten Fall folgt wegen der letzten Bedingung auch die Bedingung im zweiten Fall und umgekehrt, d.h. die Ordnung von und an der Stelle ist . Wegen der Normalität an den anderen Primzahlen folgt überhaupt, dass und ganzzahlig sind.