Zahlbereich/Reine kubische Erweiterung/Beschreibung/Ganzheitsgleichung/Umrechnung/Bemerkung

In der Situation von Fakt mit ${}q=\pm 1\mod 9$ ist der Ring

${}A=\mathbb {Z} [Y]/{\left(Y^{3}-Y^{2}+{\frac {1-q^{2}}{3}}Y-{\frac {(q^{2}-1)^{2}}{27}}\right)}\,$

nicht normal. Im Beweis wird nur gezeigt, dass die Lokalisierung an ${}(3)$ normal ist. Wenn ${}p$ ein Primteiler ${}\neq 3$ von ${}q^{2}-1$ ist, so wird darüber das Polynom zu ${}Y^{3}-Y^{2}$ und besitzt dort eine nichtreduzierte Faser.

ist

${}{\begin{aligned}y^{2}&={\frac {x^{4}+q^{2}x^{2}+1+2qx^{3}+2qx+2x^{2}}{9}}\\&={\frac {qx+q^{2}x^{2}+1+2q^{2}+2qx+2x^{2}}{9}}\\&={\frac {(q^{2}+2)x^{2}+3qx+2q^{2}+1}{9}}.\end{aligned}}$

Daraus kann man

${}x=y^{2}-{\frac {(q^{2}+2)}{3}}y\,$