Nach
Fakt
ist ein freier -Modul, dessen Rang der Grad der zugrunde liegenden Körpererweiterung ist, und nach
Fakt
ist der Faserring über eine
-dimensionale
-Algebra. In beiden Fällen kann man also die Spur über die Multiplikationsmatrix bezüglich einer Basis berechnen. Es sei eine -Basis von fixiert. Eine -Basis von wird modulo zu einer -Basis von , siehe den Beweis zu
Fakt.
In der Multiplikationsmatrix zu bezüglich stehen die ganzen Zahlen , die durch
-
gegeben sind. Da
ein Ringhomomorphismus ist, folgt
-
und daher ist die Multiplikationsmatrix zu bezüglich einfach die komponentenweise reduzierte Matrix. Deshalb ist insbesondere die Reduktion der Spur
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gleich , also gleich der Spur der Reduktion.