Zahlbereich/X^3-3X+1/Einheiten/Beispiel

Die Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [X]/(X^{3}-3X+1)$ ist eine Galoiserweiterung, wenn ${}\alpha \in \mathbb {R}$ eine Nullstelle von ${}X^{3}-3X+1$, so sind auch ${}\beta =\alpha ^{2}-2$ und ${}\gamma =-\alpha ^{2}-\alpha +2$ Nullstellen, siehe Beispiel. Insbesondere gibt es drei reelle Einbettungen und somit ist der Rang der Einheitengruppe gleich ${}2$. Wegen

${}{\begin{aligned}X^{3}-3X+1&=(X-\alpha )(X-\beta )(X-\gamma )\\&={\left(X-\alpha \right)}{\left(X-\alpha ^{2}+2\right)}{\left(X+\alpha ^{2}+\alpha -2\right)}\end{aligned}}$

ist das Produkt der drei Nullstellen gleich ${}-1$, daher handelt es sich um Einheiten des Ganzheitsringes. Dies kann man auch direkt über

${}{\begin{aligned}\alpha (\alpha ^{2}-2)(-\alpha ^{2}-\alpha +2)&=(\alpha ^{3}-2\alpha )(-\alpha ^{2}-\alpha +2)\\&=(\alpha -1)(-\alpha ^{2}-\alpha +2)\\&=-\alpha ^{3}-\alpha ^{2}+2\alpha +\alpha ^{2}+\alpha -2\\&=-(3\alpha -1)-\alpha ^{2}+2\alpha +\alpha ^{2}+\alpha -2\\&=-1\end{aligned}}$

bestätigen.